Tujuan Instruksional Khusus
Tujuan pokok bahasan ini adalah menekankan pemahaman mengenai sistem
persamaan linier. Setelah membaca pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan mampu
untuk :
- Menyelesaikan suatu Persamaan Linier dengan Metode Eliminasi Gauss
- Menyelesaikan suatu Persamaan Linier dengan Metode Eliminasi Gauss Seidel
- Menyelesaikan suatu Persamaan Linier dengan menggunakan Aturan Crammer.
Pendahuluan
Sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan
beberapa cara diantaranya Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss-Seidel dan Aturan
Crammer.
1.1.
Metode Eliminasi Gauss
Metode ini adalah salah satu metode langsung dengan
mulai membuat augmented matrik untuk mendapatkan uppertrianguler
matrik kemudian kembali ke substitusi dilakukan pada langkah akhir untuk
mendapatkan harga variable-variable bebas yang dibutuhkan.
Contoh :
Diketahui suatu persamaan linier :
3X1 – X2 +
2X3 = 12
X1 + 2X2 +
3X3 = 11
2X1
– 2X2 – X3 = 2
Hitung besarnya X1, X2, X3 ……!
Penyelesaian :
Dari set persamaan tersebut dibuat augmented matrik :
3 -1 2 12
1 2 3 11
2 -2 -1 2
Eliminasi X1
Operasi baris 2 Operasi
baris 3
a2 = Row 2 –
1/3 Row 1 a3 = Row
3 – 2/3 Row 1
a21 = 1 – 1/3
(3) = 0 a31 = 2 –
2/3 (3) = 0
a22 = 2 – 1/3
(-1) = 2 1/3
a32 = -2 – 2/3 (-1) =
-1 1/3
a23 = 3 – 1/3
(2) = 2 1/3 a33 = -1 – 2/3 (2) = -2 1/3
a2 akhir = 11 –
1/3 (12) = 7 a3
akhir = 2 – 2/3 (12) = -6
Bentuk matrik menjadi
 |
|
|
|
3 -1 2 12
0 2 1/3
2 1/3 7
0 -1 1/3 -2
1/3 -6 Row 3 + 4/7 Row 2
Eliminasi X2
Operasi baris 3
a3 = Row 3 + 4/7 Row 2
a31 =
0 + 4/7 = 0
a32 = -1 1/3 + 4/7 (7/3) = 0
a33 = -2 1/3 + 4/7 (7/3) = -1
a3 akhir
= -6 + 4/7 (7) = -2
Bentuk matrik menjadi 
3 -1 2 12
0 2 1/3 2 1/3 7
0 0 -1 -2
Kembali ke substitusi
3X1 – X2 + 2X3 =
12 …………………….. (1’ )
2 1/3 X2 + 2 1/3 X3 = 7 …………………. (2’ )
-X3 = -2 ………………... (3’ )
X3 = 2 …………………. (3’ )
2
1/3 X2 + 2 1/3 X3 = 7 …………………. (2’ )
2
1/3 X2 + 2 1/3
(2) = 7
2
1/3 X2 = 7 – 7/3 (2)
2
1/3 X2 = 7 – 14/3
= 7/3
X2 = 7/3 / 2
1/3
X2 = 1
Pers. (1) 3X1
– X2 + 2X3 =
12 3X1 – 3 = 12
3X1 = 12 –
3
3X1 = 9
X1 = 9/3
X1 = 3
Jadi, dari persamaan diatas didapat nilai X1 = 3, X2 = 1, dan X3 = 2
Bukti :
Persamaan (1) 3X1
– X2 + 2X3 = 12
3(3) – (1) + 2(2) = 12
9 - 1
+ 4 = 12
12 = 12 terbukti
Persamaan (2) X1
+ 2X2 + 3X3
= 11
3
+ 2(1) + 3(2) = 11
3
+ 2 +
6 = 11
11 = 11 terbukti
Persamaan (3) 2X1
– 2X2 – X3 = 2
2(3) – 2(1) – 2 = 2
6 – 2
– 2 = 2
2 = 2 terbukti
1.2.
Metode eliminasi
Gauss-seidel
Metode ini merupakan salah satu metode
iterasi. Metode ini lebih banyak digunakan apabila koefisien matrik dari
set persamaan lebih banyak mengungkapkan nilai nol.
Contoh :
Selesaikan set persamaan linier
berikut :
8X1 + X2 – X3 = 8
…………. (1)
X1 – 7X2 + 2X3 = -4 …………. (2)
2X1 + X2 + 9X3 = 12 …………
(3)
Set persamaan ini ditulis kembali
dalam bentuk matrik untuk mendapatkan variable-variable dengan koefisien yang
besar.
|
|
|
|
8 1 -1 X1
1 -7 2 X2
2 1 9 X3
Penyelesaian :
Catatan : diagonal
matrik harus yang terbesar aii ≥
aij
Pers. (1) 8X1 + X2
– X3 = 8
X1 = 1 – 1/8X2 + 1/8X3 ……………………..
(1a)
Pers. (2) X1 – 7X2
+ 2X3 = -4
X2 = 4/7 + 1/7X1 + 2/7X3 …………………… (2a)
Pers. (3) 2X1 + X2
+ 9X3 = 12
X3 = 12/9 – 2/9X1 – 1/9X2 …………………...
(3a)
Bentuk persamaan menjadi ;
X1 = 1 – 1/8X2 +
1/8X3 ……………… (1a)
X2 = 4/7 + 1/7X1
+ 2/7X3 …………… (2a)
X3 = 12/9 – 2/9X1
– 1/9X2 ………….. (3a)
- Pada iterasi pertama diberikan harga aproximasi dari X1, X2, X3. Pada iterasi berikutnya harga X1 dihitung dari persamaan 1a menggunakan harga aproximasi X2 dan X3.
- X2 dihitung dari persamaan 2a menggunakan harga X1 yang baru dihitung dan harga aproximasi X3.
- Harga X3 dihitung dari persamaan 3a menggunakan persamaan X1 dan X2 yang baru hitung.
Persamaan (1a), (2a), (3a) dapat ditulis dalam bentuk ;
X1n+1 = 1 – 1/8X2n
+ 1/8X3n
………………… (1b)
X2n+1 = 4/7 +
1/7X1n+1 + 2/7X3n ……………... (2b)
X3n+1 = 12/9 –
2/9X1n+1 – 1/9X2n+1 …………... (3b)
Dimana n : Nomor iterasi
Iterasi 1
Harga aproximasi X11 = 0, X21 = 0, X31 = 0
Iterasi 2
X12 = 1 – 1/8X21 + 1/8X31
= 1 – 1/8(0) + 1/8(0)
X12 = 1
X22 = 4/7 + 1/7X12 + 2/7X31
= 4/7 + 1/7(1) + 2/7(0)
X22 = 5/7 = 0,714
X32 = 12/9 – 2/9X12 – 1/9X22
= 12/9 – 2/9(1) – 1/9(5/7)
X32 = 65/63 = 1,032
Jadi, nilai X12 = 1 X22 =
0,714 X32
= 1,032
Iterasi 3
X13 = 1 – 1/8X22 + 1/8X32
= 1 – 1/8(0,714) + 1/8(1,032)
X13 = 1,041
X23 = 4/7 + 1/7X13 + 2/7X32
= 4/7 + 1/7(1,041) = 2/7(1,032)
X23 = 1.041
X33 = 12/9 – 2/9X13 – 1/9X23
= 12/9 – 2/9(1,041) – 1/9(1,041)
X33 = 0,990
Jadi, nilai X13 = 1,041 X23 =
1,041 X33
= 0,990
Iterasi 4
X14 = 1 – 1/8X23 + 1/8X33
= 1 – 1/8(1,014) + 1/8(0,990)
X14 = 0,997
X24 = 4/7 + 1/7X14 + 2/7X33
= 4/7 + 1/7(0,997) + 2/7(0.996)
X24 = 0,996
X34 = 12/9 – 2/9X14 – 1/9X24
= 12/9 – 2/9(0,997) – 1/9(0,996)
X34 = 1,009
Jadi, nilai X14 = 0,997 X24 =
0,996 X34
= 1,009
Iterasi 5
X15 = 1 – 1/8X24 + 1/8X34
= 1 – 1/8(0,996) + 1/8(1,000)
X15 = 1,0005
X25 = 4/7 + 1/7X15 + 2/7X34
= 4/7 + 1/7(1,0005) + 2/7(1,009)
X25 = 1,0025
X35 = 12/9 – 2/9X15 – 1/9X25
= 12/9 – 2/9(1,0005) – 1/9(1,0025)
X35 = 0,9994
Jadi, nilai X15 = 1,0005 X25 = 1,0025 X35 = 0,9994
Iterasi 6
X16 = 1 – 1/8X25 + 1/8X35
= 1 – 1/8(1,0025) + 1/8(0,9994)
X16 = 0,9996
X26 = 4/7 + 1/7X16 + 2/7X35
= 4/7 + 1/7(0,9996) + 2/7(0,9994)
X26 = 0,9996
X36 = 12/9 – 2/9X16 – 1/9X26
= 12/9 – 2/9(0,9996) – 1/9(0,9996)
X36 = 1,0003
Jadi, nilai X16 = 0,9996 X26 = 0,9996 X36 = 1,0003
Terlihat pada iterasi 5 dan 6 harga X1, X2, X3
hampir sama sehingga dapat disimpulkan bahwa harga X1 = 1,000 X2 = 1,000 X3 = 1,000
1.3.
Aturan Crammer
Aturan Crammer ini digunakan untuk
mencari harga X1, X2, X3 dari suatu persamaan
linier. Apabila ada suatu persamaan seperti dibawah ini :
aX1 – bX2 + cX3 = d
-aX1 + bX2 + cX3
= e
aX1 + bX2 - cX3 = f
Maka, harga X1, X2, X3 dicari
dengan rumus aturan crammer dibawah ini :
X1 = det A1 /
det A
X2 = det A2 /
det A
X3 = det A3 /
det A
Dimana :
det A = a
-b c
-a b
c
a b
-c
det A1
= d -b
c
e b
c
f b
-c
det A2
= a d
c
-a e
c
a f
-c
det A3
= a -b
d
-a b
e
a b
f
Contoh :
Suatu set persamaan linier :
3X1 - X2 + 2X3 =
12
X1 + 2X2 + 3X3 = 11
2X1 - 2X2 - X3 =
2
Ditanya : Carilah harga X1, X2 dan X3 dengan
menggunakan aturan crammer?
Penyelesaian :
Apabila persamaan diatas kita buat dalam bentuk matrik maka,
bentuknya menjadi :
 |
 |
|
|
|
|
3
-1 2 X1 12
1 2 3 X2 11
2 -2 -1 X3 2
3
-1 2
A =
1 2 3 det
A dicari, menggunakan metode sarrus
2
-2 -1 |
 |
|
|
|
|
3 -1
2 3 -1
det A = 1
2 3 1 2
2 -2
-1 2 -2
= (-6 – 6 – 4) – (8 – 18 + 1)
= -16 – (-9)
= -7
|
|
|
|
|
|
12 -1
2 12 -1
det A1 = 11
2 3 11 2
2
-2 -1 2 -2
= ( -24 -6 – 44 )
– ( 8 – 4 + 11 )
= -74 + 53
= -21
det A1
X1 =
det A
-21
=
-7
X1 = 3
|
|
|
|
|
|
3 12
2 3 12
det A2 = 1
11 3 1 11
2 2
-1 2 2
= ( -33 + 72 + 4 )
– ( 44 + 18 – 12 )
= 43 – 50
= -7
det A2
X2 =
det A
-7
=
-7
X2 = 1
|
|
|
|
|
|
1 -3
12 1 -3
det A3 =
3 4 11 3 4
1 1 2 1 1
= ( 12 – 22 – 24 ) – ( 48 – 66 – 2
)
= -34 + 20
= -14
det
A3
X3 =
det A
-14
=
-7
X3 = 2
Jadi, di dapat nilai X1 = 3, X2 = 1, X3 = 2
Bukti :
Persamaan (1) 3X1
– X2 + 2X3 = 12
3(3) – (1) + 2(2) = 12
9 - 1
+ 4 = 12
12 = 12 terbukti
Persamaan (2) X1
+ 2X2 + 3X3 = 11
3 + 2(1) + 3(2) = 11
3 + 2
+ 6 = 11
11 = 11 terbukti
Persamaan (3) 2X1
– 2X2 - X3 = 2
2(3) – 2(1) - (2) = 2
6
- 2 -
2 = 2
2 = 2 terbukti
1.4.
Rangkuman Sistem
Persamaan Linier
Sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan
beberapa cara diantaranya Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss-Seidel dan Aturan
Crammer.
1. Metode Eliminasi Gauss
Metode ini adalah salah satu metode langsung dengan
mulai membuat augmented matrik untuk mendapatkan uppertrianguler
matrik kemudian kembali ke substitusi dilakukan pada langkah akhir untuk
mendapatkan harga variable-variable bebas yang dibutuhkan.
2. Metode eliminasi
Gauss-seidel
Metode ini merupakan salah satu metode
iterasi. Metode ini lebih banyak digunakan apabila koefisien matrik dari
set persamaan lebih banyak mengungkapkan nilai nol.
3. Aturan Crammer
Aturan Crammer ini digunakan untuk
mencari harga X1, X2, X3 dari suatu persamaan
linier. Apabila ada suatu persamaan seperti dibawah ini :
aX1 – bX2 + cX3 = d
-aX1 + bX2 + cX3
= e
aX1 + bX2 - cX3 = f
Maka, harga X1, X2, X3 dicari
dengan rumus aturan crammer dibawah ini :
X1 = det A1 /
det A
X2 = det A2 /
det A
X3 = det A3 /
det A
Dimana :
det A = a
-b c
-a b
c
a b
-c
det A1
= d -b
c
e b
c
f b
-c
det A2
= a d
c
-a e
c
a f
-c
det A3
= a -b
d
-a b
e
a b
f
Sumber Pustaka
Purcell,
Edwin, dale, Varberg 1984. Kalkulus
dan Geometri Analitis. Jilid 2. Ed.
3. Erlangga. Jakarta.
0 komentar:
Posting Komentar
Terimakasih atas kunjungan anda,,,